高中数学“空间向量”部分教学问答

　　空间向量在高中数学中具有怎样的地位和作用 ?答 :用空间向量处理某些立体几何问题 ，可以为学生提供新的视角 。在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量 ，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具 ，从而提高学生的空间想象能力和学习效率 。高中数学新教材中讲述空间向量的部分约占 1 4课时 (当然它的应用不止在这 1 4课时 ) ，它被包含在第九章“直线、平面、简单几何体”(简称“9(Ｂ)”)中 。含有空间向量的高二下学期的数学教科书简称“第二册 (下Ｂ)” ;与它平行 ，仍用传统方法来阐述高中立体几何内容的教科书简称“第二册 (下Ａ)” 。两本教科书第九章的章名一样 ，并且都用 3 6课时进行教学 。综上 ，“空间向量”这部分内容具有“必学”和“选学”两重性 。按照大纲第 1 0页的脚注规定“直线、平面、简单几何体的教学内容和教学目标在 9(Ａ)和 9(Ｂ)两个方案中只选一个执行” ，9(Ｂ)具有选学的性质 ，但大纲把“直线、平面、简单几何体”作为必学内容 ，如果学生不按“第二册 (下Ａ)”教科书来学习 ，那么空间向量对于他们就是必学内容 。“空间向量”这部分内容 ，大致可分成“空间向量及其运算”与“空间向量的应用”这两个模块 。( 1 )空间向量及其运算 。包括 :①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程 。②理解空间向量的概念 ，掌握空间向量的加法、减法、数乘及其坐标表示 ，了解空间向量基本定理及其意义 ;掌握空间坐标系 ，能将空间向量用坐标轴上的单位向量线性表示 ，掌握空间向量的坐标表示 。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示 ，能运用向量的数量积判断向量的共线或垂直 。( 2 )空间向量的应用 。包括 :①理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念 。②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系 。③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理 。④能用空间坐标系与向量方法解决夹角与距离的计算问题 ，体会向量方法在研究几何问题中的作用 。教学中 ，应引导学生运用类比的方法 ，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程 。应注意由于维数增加所带来的影响 。2　“空间向量”这部分内容在第九章中是如何安排的 ?　　答 :这部分内容编成一个大节 (即第二大节 ) ，分为两个小节 。为了初步培养学生的空间想象能力 ，第一大节“空间的直线和平面”中先使用综合推理方法学习空间图形的一些基本性质 。但是 ，与“第二册 (下Ａ)”教科书相比 ，综合推理训练的要求要弱一些 ，这是因为有些问题将来用空间向量来处理更为简捷 。相应地 ，在第一大节中 ，三垂线定理及其逆定理的解题训练也安排得较少 。虽然大纲中未提到空间向量的“平移” ，但由于我们把空间向量看作空间的“一个位移” ，所以在第一大节中学习空间直线平行关系传递性的基础上 ，引入了平移概念 。此外 ，还更新了传统教材中的一些例、习题 ，目的也是为了帮助学生理解空间向量的内容 。“空间向量”的第一小节 ，是整章的重点 。本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间 。有了平面向量以及第一大节中空间平行概念的基础 ，这种推广对学生已不再有很大困难 ，但仍要一步步地去进行 。例如 ，要一步步地验证空间向量的运算法则及运算律 。这样做 ，既可以温故知新 ，又可以进一步培养空间想象能力 。将平面向量推广到空间向量后 ，必须探究共线向量定理和平面向量定理能否推广到空间 。在得出肯定的结论后 ，再由这两个定理推出空间与平面的向量表达式 。有了这两个表达式 ，学生就可以方便地解决空间的某些共线与共面问题 。在学习共线向量定理和共面向量定理后 ，学生进一步学习空间最重要的定理———空间向量基本定理 。此定理是将空间几何研究进行数量化的基础 ，它使空间的结构变得简单明了 :整个空间被三个不共面的基本向量所确定 ;空间的点或向量与三维实数组 (ｘ ，ｙ ，ｚ)之间具有一一对应的关系 。本小节最后安排向量的数量积 。将平面内两个向量的数量积推广到空间 ，最重要的是让学生建立起向量在轴上的投影的概念 。为了减轻学生负担 ，教科书没有证明数量积的几个运算性质 ，留给学有余力的学生自己去完成 。“空间向量”的第二小节 ，首先引入空间直角坐标系 ，使向量运算完全坐标化 。在去掉基底后 ，空间向量与三维实数组一一对应 ，这样就使运算更加方便 。然后教科书给出空间两个最基本的公式———夹角公式与距离公式 。在本小节中 ，作为向量坐标计算的例题 ，还顺便证明了定理“如果两条直线同垂直于一个平面 ，则这两条直线平行”(第 41页～ 42页上的例5) 。这个定理也是要求学生掌握的 。3　教科书在第 42页例 5之后的三段话是什么意思 ?　　答 :在证完例 5的定理 (上一问答的最后已提到 )后 ，可让学生回顾教科书第 2 2页练习的第 6题“求证 :如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 ，则另一条直线也垂直于这个平面” 。由此得出两条直线垂直于同一平面的充要条件是其中有一条直线垂直于此平面 ，且这两条直线互相平行 。上述例 5之后的第一段话是“如果表示一个向量的一条有向线段所在直线垂直于平面α ，则表示该向量所有的有向线段所在直线都垂直于α” ，就是从上面的充要条件得来的 。它还表明 :此时与表示该向量的有向线段所在直线不平行的直线都不可能垂直于α。这就是说 ，如果表示向量ａ的有向线段所在直线垂直于α ，那么与它不平行的直线都不可能垂直于α ，这时向量ａ有且只有两种相反的方向 。这样我们才可以定义什么叫做“向量垂直于平面α” ，什么叫做“平面α的法向量” 。注意 :平面α的法向量有无限多种长度 ，但方向有且只有两种 。4　“夹角与距离”这一大节内容在第九章中是如何安排的 ?　　答 :这一内容编写成本章的第三大节 ，也分为两个小节 。“夹角”包括“直线与平面所成的角”与“两面角” ;“距离”包括“直线到平面的距离”“点到平面的距离”与“异面直线的距离” 。第一小节中还含有两平面垂直的判定和性质 。这一大节不仅要求学生掌握上述关于夹角、距离的概念 ，以及两平面垂直的判定和性质 ，还要求能灵活运用勾股定理 ，正弦、余弦定理以及向量的代数方法进行有关的计算与证明 。教科书在处理具体问题时 ，采取了实事求是的态度 :凡是用向量比较容易解决的问题 ，就以向量为“通法”来解决 ;而对有些直接使用勾股定理和三角知识比较容易解决的问题 ，仍用传统方法去对待 。本章的第四大节是“简单多面体与球” ，这一大节既是对简单几何体基础知识的重点讨论 ，又是对前面空间图形基本性质与空间向量等相关知识的综合运用 。所以说 ，学生如果用空间向量知识去处理在第一大节中遇到的问题 ，也是应该欢迎甚至提倡的 。5　高考对于“空间向量”这一内容是怎样要求的 ?　　答 :自 2 0 0 0年夏季起 ，文科、理科高考试题 (新课程卷 )中有关“空间向量”的试题内容、要求、形式和得分都是一致的 。为了鼓励和支持课程、教材的改革 ，试卷中用一道解答题来考查“平面向量” 。这道解答题是试卷中某一道解答题 (甲 )、(乙 )两题中的 (甲 )题 。在题号后明确指出 :考生在 (甲 )、(乙 )两题中选一题作答 ，如果两题都答 ，只以 (甲 )计分 。对比 2 0 0 0年至 2 0 0 2年的 (甲 )、(乙 )两题 ，(甲 )题都可以用“空间向量”来解决 ;(乙 )题一般是用传统方法来解决 ，难度稍大 ，耗时较多 。2 0 0 0年理科、文科试卷第1 8题的 (甲 )题 (本题满分 1 2分 )是 :如图 1 ，直三棱柱ＡＢＣ Ａ1Ｂ1Ｃ1，底面△ＡＢＣ中 ，ＣＡ=ＣＢ =1 ，∠ＢＣＡ =90°，棱ＡＡ1=2 ，Ｍ、Ｎ分别是Ａ1Ｂ1、Ａ1Ａ的中点 。( 1 )求ＢＮ的长 ;( 2 )求ｃｏｓ<ＢＡ1，ＣＢ1>的值 ;( 3 )求证Ａ1Ｂ⊥Ｃ1Ｍ 。解第 ( 1 )小题 ，可如图 2建立空间直角坐标系Ｏ ｘｙｚ 。计算得 |ＢＮ|=3 (本小题 2分 ) 。再解第 ( 2 )小题 ，得ｃｏｓ<ＢＡ1，ＣＢ1>=3 01 0 (本小题 7分 ) 。第 ( 3 )小题证略 (本小题 3分 ) 。2 0 0 1年理科、文科试卷第2 0题的 (甲 )题 (本题满分 1 2分 )是 :如图 3 ，以正四棱锥Ｖ ＡＢＣＤ底面中心Ｏ为坐标原点建立空间直角坐标系Ｏ ｘｙｚ ，其中Ｏｘ∥ＢＣ ，Ｏｙ∥ＡＢ 。Ｅ为ＶＣ中点 ，正四棱锥底面边长为 2ａ ，高为ｈ 。( 1 )求ｃｏｓ<ＢＥ ，ＤＥ >;( 2 )记面ＢＣＶ为α ，面ＤＣＶ为 β，若∠ＢＥＤ是二面角α ＶＣ β的平面角 ，求∠ＢＥＤ的值 。解第 ( 1 )小题 ，得ｃｏｓ <ＢＥ ，ＤＥ >=-6ａ2 +ｈ21 0ａ2 +ｈ2 (本小题 6分 ) 。解第 ( 2 )小题 ，得∠ＢＥＤ =π -ａｒｃｃｏｓ 13(本小题 6分 ) 。2 0 0 2年理科试卷第 1 8题 (文科试卷第 1 9题 )的 (甲 )题 (本题满分 1 2分 )是 :如图 4，正三棱柱ＡＢＣ Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为ａ ，侧棱长为2ａ 。( 1 )建立适当的坐标系 ，并写出点Ａ、Ｂ、Ａ1、Ｃ1的坐标 ;( 2 )求ＡＣ1与侧面ＡＢＢ1Ａ1所成的角 。解第 ( 1 )小题 ，可如图 5建立空间直角坐标系Ｏ ｘｙｚ，得Ａ( 0 ，0 ，0 ) ，Ｂ( 0 ，ａ，0 ) ，Ａ1( 0 ，0 ，2ａ) ，Ｃ1( -32 ａ ，12 ａ ，2ａ) (本小题 4分 ) 。解第 ( 2 )小题 ，在图 5中 ，取Ａ1Ｂ1的中点Ｍ ，有Ｍ ( 0 ，12 ａ ，2ａ) 。连结ＡＭ、ＭＣ1，可证ＡＣ1与ＡＭ所成的角就是ＡＣ1与侧面ＡＢＢ1Ａ1所成的角 。计算得ｃｏｓ <ＡＣ1，ＡＭ >=32 (本小题 8分 ) 。由上面三道试题可见 ，解题的关键都在于建立空间坐标系 ，从而把立体几何的计算与证明问题代数化 。坐标系建立得适当 ，可以使计算简化 ，从而也使证明简捷 ，充分体现出向量工具的优越性 。目前这类试题的难度都属于中等 ，比做同一解答题的 (乙 )题“优惠”一些 。积极支持课程、教材改革的一线教研员和教师都已经对这些特点表示关注 ，试用“第二册 (下Ｂ)”教科书的省、市和学校越来越多 。不仅如此 ，学习了平面向量与空间向量的学生 ，到大学理工科专业学习空间解析几何、线性空间、向量分析、微分几何以及张量分析等 ，都会打下一个基础 。所以在高中数学课程中安排空间向量内容的前景是十分光明的 。思　考　题1 。怎样正确认识高中数学课程中安排空间向量的重要性 ?为什么大纲作出 9(Ａ)、9(Ｂ)两种安排 ?2 。本章加进了空间向量 ，学生学习立体几何的基本要求又不能降低 ，你如何在规定的教学时间内保证学生学习全章的质量 ?你如何创造性地让学生利用向量解决更多的立体几何问题 ?