研究性课题:“组合数的性质”教学设计

　　课题的背景与功能“组合数的性质”是学生学习了函数的图像与性质、数列以及组合数公式等知识的基础上提出来的 ，它与函数、数列、数学归纳法等知识有内在联系 ，是进一步学习二项式定理的基础 ，并且能结合实际生产和生活中的问题 。本课题不仅能使学生系统掌握组合数的有关知识 ，而且能使学生掌握渗透于知识中的数形结合思想 ，特殊与一般的思想以及观察、猜想、证明的思想方法 ;不仅对培养学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力以及合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点 ，而且对开发智力、培养数学应用的意识和能力以及科学研究的意识和能力也有重要作用 ;不仅具有培养学生爱国主义思想、献身科学精神以及合作意识和精神 ，而且能使学生在探究过程中 ，发现数学美 ，激发他们勇敢地追求美 ，主动地创造美 ，从而陶冶学生的情操 ，培养学生的创新精神 。
　　研究过程设计
　　第一阶段：课前准备———搭脚手架课前教师提出下列问题 ，让学生思考:问题1：在同一直角坐标系中 ，画出函数 ｆ(ｘ)=Ｃｘｎ(ｎ=1，2 ，3，4 ，5 ，6 ，7，ｘ≤ｎ且ｘ∈Ｎ )的图像 ，根据图像回答下列问题 (1)函数的图像有何特征 ?怎样用数量关系来描述这些函数的特征 ?(2 )请从数与形两个方面来分析函数ｆ(ｘ) Ｃｘｎ 的特征 。设计意图是让学生预习教学内容 ，查阅与课题有关的资料 ，在主动求知中扫除部分障碍 ，为进一步理解构架好底座 ，并培养良好的学习习惯 ，同时拓宽学习渠道 ，在自学范围上实现“超文本”。
　　第二阶段：研究讨论———解决问题
　　2。1创设情境———提出问题。教师先借助多媒体显示在同一直角坐标系中函数 ｆ(ｘ) =Ｃｘｎ(ｎ =1，2 ，3，4 ，5 ，6 ，7，ｘ ≤ｎ且ｘ∈Ｎ )的图像 ，然后提出下列问题：问题2：(1)函数 ｆ(ｘ) =Ｃｘｎ 的图像有何特征 ?有什么性质 ?(2 )怎样证明这些性质 ?(3)利用性质可解决哪些问题 ?设计意图是让学生体验数形结合及特殊到一般和一般到特殊的思想方法 。这里教师的任务是 :展示创设的问题情境 ，为学生观察、思考、阅读、讨论、交流等学习活动提供材料 。
　　2。2独立探究———感知 (顿悟 )问题教师先提示学生认真观察每个函数的图像及图像与图像之间的关系 ，从数与形两个方面加以分析 。然后让学生个别学习 (允许相互讨论 ) 。设计意图是通过学生个别学习 ，让学生自己抽象概括 ，揭示问题的本质 。这里教师的任务是 :对学生知识上进行适当的补遗 ，思维上进行恰当的启迪 ，方法上进行恰当的点拨 ，鼓励学生积极、主动地探究 ，以较高的热情、顽强的意志 ，完成整个探究过程。
　　2。3　合作交流———形成共识当学生对初始问题有了粗略认识后 ，我提出了以下一些问题供学生讨论交流 。(1)函数 ｆ(ｘ) =Ｃｘｎ 的图像特征与性质问题 3　请你根据上述函数的图像特征 ，归纳函数 ｆ(ｘ) =Ｃｘｎ 的图像特征与性质 。讨论结果 :生 1:函数 ｆ(ｘ) =Ｃｘｎ 的图像由一些孤立的点组成 。生 2 :图像具有对称性 ，即Ｃｍｎ =Ｃｎ-ｍｎ 。生 3:函数有最大值 ，当ｎ是偶数时 ，ｆ(ｘ)的最大值为Ｃｎ2ｎ ;当ｎ是奇数时 ，ｆ(ｘ)的最大值为Ｃｎ- 12ｎ或Ｃｎ+ 12ｎ 。生 4 :Ｃｍｎ+ 1=Ｃｍｎ +Ｃｍ - 1ｎ (在教师启发下完成 ) 。(2 )组合数性质的证明问题 4　你能证明Ｃｍｎ =Ｃｎ-ｍｎ 及Ｃｍｎ+ 1=Ｃｍｎ +Ｃｍ - 1ｎ 吗 ?讨论结果 (略 )———揭示课题 。(3)性质的应用问题 5　应用性质可以解决哪些问题 ?讨论结果 :①用Ｃｍｎ =Ｃｎ-ｍｎ 可以化繁为简 (具体例子略 ) ;②用Ｃｍｎ+ 1=Ｃｍｎ +Ｃｍ- 1ｎ 可以证明有关恒等式(具体例子略 ) ;(4)创新问题 6　用特殊到一般和一般到特殊的思想 ，可以构造数学问题、发现数学规律 ，你学了本课内容 ，你还能作哪些创新 ?生 5 :根据图像可得课本中杨辉三角图 :11112 11331146 4 115 10 10 5 116 15 2 0 15 6 1172 135 35 2 171……………………图 (1)　　生 6 :由Ｃｍｎ +Ｃｍ- 1ｎ =Ｃｍｎ+ 1可得 :Ｃｍｍ +Ｃｍｍ + 1+Ｃｍｍ + 2 +… +Ｃｍｍ +ｎ =Ｃｍ + 1ｍ +ｎ+ 1。生 7:“杨辉三角”图可得许多恒等式 (讨论结果略 ) 。设计意图是通过合作交流 ，揭示问题本质 ，使学生加深对组合数性质的认识 ，体验数形结合及特殊到一般和一般到特殊的辩证思想 ，领会观察、猜想、证明的思维方法 。这里教师的任务是 :提出问题 ，为学生创设一种环境和氛围 ，让学生在讨论交流中学习数学 。师生、生生之间有效的互动 ，有助于发展学生评价、判断和交往能力 ，有助于他们建构知识 。
　　2。4总结反思———形成新的结构今天我们以几个具体函数为载体 ，通过抽象概括得出了函数 ｆ(ｘ) =Ｃｘｎ 的性质 。我们来回顾一下 ，本课在“问题解决”过程中一般有意义的东西 !(1)本课的全过程可以概括为 :具体函数的图像与性质抽象概括 一般函数的图像与性质应用 解决具体问题(2 )解决问题的思想方法 :观察 →猜想 →证明 :特殊到一般和一般到特殊 。(3)利用函数 ｆ(ｘ) =Ｃｘｎ 的图像可以发现许多有趣的东西 ，请你用一般到特殊和特殊到一般的思想在课后去试一试 。设计意图是使学生对本课所学知识结构有一个清晰的认识 ，对本课所用的数学思想方法有一个明确的了解 ，从而使学生在掌握知识的同时 ，体验相应的思想方法 ，培养创新能力 。这里教师的任务是 :概括所学内容的逻辑结构 ，提炼思想观点 ，使学生增强新旧知识的联系 ，形成新的知识网络结构和认知结构 ，实现共同创新。
　　第三阶段 :任务后延———自主研究“杨辉三角”图 ，它是我国宋朝数学家杨辉发现的 。杨辉三角有许多有趣的性质 ，如杨辉三角中的数字与组合数有内在联系 ，一些直线连接的数字分别构成了一些数列 ，这些数列有特殊的性质 ，等等 。请大家对其特性进行研究 ，并撰写一份简单的研究报告 。要求 :(1)以自愿为原则 ，4至 5人组成一研究小组 ，并推选一名组长 ，负责组织本组的研究成果的整理 ;(2 )对于研究的成果 ，要进行严格的证明 ，如果是摘录的结论 ，请注明出处 ;(3)三周后进行交流 ，各研究小组分别委派一名代表宣读论文 。设计意图是使学生进一步意会组合数的性质 ，增长创新意识 ，培养发现问题、提出问题和解决问题的能力 。3　对学生反馈的预测及调控设计(1)估计学生发现Ｃｍｎ+ 1=Ｃｍｎ +Ｃｍ- 1ｎ 有困难 。调控设计 :引导学生认真观察相邻三点坐标之间的关系 。(2 )估计学生利用图像发现新的规律有困难 。调控设计 :在合作交流阶段 ，将时间和空间让给学生 ，让学生充分发表自己的观点 。(3)估计学生对观察、猜想、证明以及特殊到一般和一般到特殊的思想方法认识不够深刻 。调控设计 :在总结阶段 ，结合本课内容加以说明 。(4)估计学生撰写研究报告有困难 。调控设计 :在布置作业阶段 ，教师作适当指点
　　教学评价本课题在奉化中学实施后 ，笔者听取了参加听课的教研人员、数学教师和学生的反映。教研人员认为:本课题从函数角度切入找准了新旧知识的“最佳结合点”，整个教学过程体现了研究性学习思想，并且将形式化数学的学术形态转变成了学生可接受的教育形态。它不但起到了完善学生学习方式的作用，而且也起到了培养学生创新精神和实践能力的作用，对课堂教学怎样实施数学素质教育起到了一定的示范作用。数学教师认为:本课题有能力发展点，个性和创新精神培养点。通过直观演示让学生体验数形结合和特殊与一般的思想 领会观察、猜想、证明的思想方法，是符合学生的认知规律和心理发展规律的。教者艺术地将死的知识激活 ，不但能使学生主动建构组合数性质，而且有利于学生体验数学化的过程。本课使学生掌握组合数性质的同时 ，领会了由其内容反映出来的数学思想和方法，不但巩固了旧知识，而且为后继学习作下了伏笔，尤其是课后思维发散性的作业 ，对培养学生创新意识和能力及科学研究的意识和能力有重要作用。学生认为:本节课具有开放性、探索性的特点，前后联系密切，不但使我们掌握了组合数的性质，领会了处理问题的思想方法，而且使我们开阔了眼界，学会了学习数学的方法。